Геометрия 7-9 класс

Описание приложения

Геометрия (от др.-греч. γῆ — Земля и μετρέω — «измеряю») — это раздел математики, который изучает пространственные структуры, отношения между ними и их обобщения. Геометрия как систематическая наука зародилась в Древней Греции. Её аксиоматическое построение описано в знаменитых «Началах» Евклида. Евклидова геометрия занималась исследованием простейших фигур на плоскости и в пространстве, а также вычислением их площадей и объёмов. Координатный метод, предложенный Декартом в 1637 году, послужил основой для аналитической и дифференциальной геометрии. Задачи, связанные с черчением, привели к созданию начертательной и проективной геометрии. Важно отметить, что все эти построения оставались в рамках аксиоматического подхода Евклида. Коренные изменения произошли благодаря работам Лобачевского в 1826 году. Он отказался от аксиомы параллельности и создал новую, неевклидову, геометрию, тем самым определив дальнейший путь развития науки и создания новых теорий. Классификация геометрии, предложенная Клейном в «Эрлангенской программе» в 1872 году, основана на инвариантности геометрических объектов относительно различных групп преобразований и сохраняется до сих пор. Геометрия изучает взаимное расположение тел, которое выражается в прикосновении или прилегании, расположении «между», «внутри» и тому подобном; величину тел, то есть понятия о равенстве, «больше» или «меньше»; а также преобразования тел. Геометрическое тело представляет собой абстракцию, ещё со времён Евклида, который утверждал, что «линия есть длина без ширины», а «поверхность есть то, что имеет длину и ширину». Точка является абстракцией, связанной с неограниченным уменьшением всех размеров тела или пределом бесконечного деления. Расположение, размеры и преобразования геометрических фигур определяются пространственными отношениями. При изучении реальных предметов геометрия рассматривает только их форму и взаимное расположение, отвлекаясь от других свойств, таких как плотность, вес, цвет. Это позволяет перейти от пространственных отношений между реальными объектами к любым отношениям и формам, возникающим при рассмотрении однородных объектов и сходным с пространственными. В частности, геометрия позволяет рассматривать расстояния между функциями. Общепринятую классификацию различных разделов геометрии предложил Феликс Клейн в своей «Эрлангенской программе» (1872). Согласно Клейну, каждый раздел изучает те свойства геометрических объектов, которые сохраняются (инвариантны) при действии некоторой группы преобразований, специфичной для каждого раздела. В соответствии с этой классификацией, в классической геометрии можно выделить следующие основные разделы: • Евклидова геометрия: предполагает, что размеры отрезков и углов при перемещении фигур на плоскости не меняются. Другими словами, это теория тех свойств фигур, которые сохраняются при их переносе, вращении и отражении. • Планиметрия: раздел евклидовой геометрии, исследующий фигуры на плоскости. • Стереометрия: раздел евклидовой геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. • Проективная геометрия: изучает проективные свойства фигур, то есть свойства, сохраняющиеся при их проективных преобразованиях. • Аффинная геометрия: изучает свойства фигур, сохраняющиеся при аффинных преобразованиях. • Начертательная геометрия: инженерная дисциплина, в основе которой лежит метод проекций. Этот метод использует две и более проекций (ортогональных или косоугольных), что позволяет представить трехмерный объект на плоскости. Современная геометрия включает в себя следующие дополнительные разделы: • Многомерная геометрия. • Неевклидовы геометрии. • Сферическая геометрия. • Геометрия Лобачевского. • Риманова геометрия. • Геометрия многообразий. 📐